ملخص ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ رياضيات ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم في موقع باك نت.baknit الموقع التعليمي المتميز والمتفوق بمنهجية الإجابة الصحيحة والنموذجية من مرحلة التعليم الابتدائي والمتوسط والثانوي bac 2023 كما يسرنا بزيارتكم أن نقدم أهم المعلومات والحلول وأفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية 2022 2023 وكما عودناكم أعزائي الزوار في صفحة موقع باك نت أن نطرح لكم ما تبحثون عنه وهو ......ملخص ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ رياضيات ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
وتكون الإجابة على سؤالكم هي على النحو التالي
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ABC ﺍﻟﻤﺒﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ
ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ. ﺗﻌﺮﻑ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻠﻴﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
ﺟﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ
ﻫـ ﻭﺍﻟﻮﺗﺮ
ﺟﺘﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ
ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﻭﺍﻟﻮﺗﺮ
ﻇﺎ ﻫـ = ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ
ﻫـ ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻬﺎ ﺃﻭ ﺑﺄﻧﻬﺎ ﺣﺎﺻﻞ
ﻗﺴﻤﺔ ﺟﺎﻫـ
ﻋﻠﻰ
ﺟﺘﺎ ﻫـ
ﻗﺘﺎ ﻫـ ( ﻗﺎﻃﻊ ﺟﺎ ) = ﻣﻘﻠﻮﺏ ﺟﺎ ﻫـ ,
ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻮﺗﺮ
ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ
ﻗﺎ ﻫـ ( ﻗﺎﻃﻊ ﺟﺘﺎ ) = ﻣﻘﻠﻮﺏ ﺟﺘﺎ ﻫـ ,
ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻮﺗﺮ
ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ
ﻇﺘﺎ ﻫـ ( ﻗﺎﻃﻊ ﻇﺎ ) = ﻣﻘﻠﻮﺏ ﻇﺎ ﻫـ ,
ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ
ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻫـ ﻭﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ
ﻟﻬﺎ
ﺃﻭ ﺑﺄﻧﻬﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﻗﺴﻤﺔ ﺟﺘﺎﻫـ ﻋﻠﻰ ﺟﺎ ﻫـ
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ
ﻫﻨﺎ ﺃﺳﻠﻮﺏ ﺁﺧﺮ ﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ (ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﺘﻲ
ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭﻳﻦ ﻓﻲ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﻭﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ) ﺣﻴﺚ
ﻳﺴﻤﺢ ﺑﺘﻤﺪﻳﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻟﺘﺸﻤﻞ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ
ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻣﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ
ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ " ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ "
ﻭﺍﻟﺒﻌﺾ ﻳﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﻤﻰ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ
ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ. ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﺗﺠﻌﻞ ﻫﺬﺍ
ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﻣﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﺘﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻋﻨﺪ
ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ﻣﻮﺟﺒﺔ
ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ.
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺻﻞ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭﻳﻦ
ﻭﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻻﺑﺘﺪﺍﺋﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻣﻦ
ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ ( ﻭﻫﺬﺍ ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻮﺿﻊ
ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ) ﻭﻛﺎﻥ ﺿﻠﻌﻬﺎ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﻘﻄﻊ
ﺩﺍﺋﺮﺓ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ
ﻧﻌﺮﻑ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ sin ﻭ cos ﺩﻭﺭﻳﺔ ﺑﺪﻭﺭﻩ
ﻃﻮﻟﻬﺎ ﻭﻟﻜﻞ ﻭﺍﺣﺪﺓ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﺟﺬﺭﻳﻦ ﻓﻲ
ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪﺓ ﻭﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ﻓﺈﻥ
ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ tan ﻓﺈﻥ
ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
ﺟﺬﻭﺭﻫﺎ ﻧﻔﺲ ﺟﺬﻭﺭ ﺩﺍﻟﺔ sin ﻟﺬﻟﻚ
ﺑﺎﺳﺘﺒﺪﺍﻝ x,y ﺑﺎﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ cos , sin
ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﺗﻘﺪﻳﻢ ﺻﻮﺭﺓ ﺃﺧﺮﻯ ﺃﻛﺜﺮ ﻓﺎﺋﺪﺓ
ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺃﺳﺎﺳﻴﺔ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺿﻌﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻣﺜﺎﻝ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻉ ﻭﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﺯﺍﻭﻳﺘﻴﻦ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﺿﺮﺏ ﺇﻟﻰ ﺟﻤﻊ
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎﺕ ﺍﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻣﻦ ﺟﻤﻊ ﺇﻟﻰ ﺿﺮﺏ
ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺑﺎﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ
1) ﺻﻴﻐﺔ ﺩﻳﻤﻮﺍﻓﺮ de Moivre's ﺣﻴﺚ
i ﻫﻲ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ , ﻭﻫﻮ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ
ﻳﺤﻘﻖ
2 ) ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺃﻭﻳﻠﺮ
3 ) ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ ﻣﺮﺓ ﻭﺑﺎﻟﻄﺮﺡ ﻣﺮﺓ ﻣﻊ ﺗﺬﻛﺮ ﺃﻥ
ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺻﻴﻐﺔ ﻟﻠﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻷﺳﻴﺔ